Sejarah Fungsi
Galileo Galilei (1564-1642) merupakan
salah satu astronom terkenal dari Italia yang dikenal luas dengan penemuannya
tentang hubungan yang sangat teratur antara tinggi suatu benda yang dijatuhkan
dengan waktu tempuhnya menuju tanah.
Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam
setiap cabang matematika, sehingga merupakan suatu yang sangat penting artinya
dan banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian dalam matematika agak
berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.Dalam pengertian
sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat.
Kata fungsi dalam matematika
sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz
(1646-1716) terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau
kaitan yang khas antara dua himpunan. Mengingat konsep fungsi menyangkut
hubungan atau kaitan dari dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan
kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan.
1.
Pengertian Fungsi
Adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat
satu anggota B.
2. Notasi dan Nilai Fungsi
f : x à y atau f : x à f(x)
Dibaca : fungsi f
memetakan x anggota A ke y anggota B.
3. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Cartesius, dan Himpunan
Pasangan Berurutan
Contoh:
Jika diketahui
- Dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan dapat disajikan sebagai berikut:
- Diagram Panah
2. Diagram Cartesius
3. Himpunan pasangan berurutan
R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}
4. Menentukan Rumus Fungsi Jika Nilainya
Diketahui
Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = -5 dan f(-2) = -9. Tentukan
bentuk fungsi f(x).
ü Penyelesaian :
Karena f fungsi linear maka f(x) = ax + b.
Dengan demikian diperoleh
f(0) = -5
f(0) = a(0) + b = -5
0 + b =-5
b = -5
f(-2) = -9
f(-2) = a(-2) + b = -9
-2a + (-5) = -9
a = 2
Jadi fungsi yang dimaksud adalah f(x) = ax + b = 2x – 5
5. Menghitung Nilai Perubahan
Fungsi Jika Nilai Variabelnya Berubah
Misalkan fungsi f ditentukan oleh f : x à 5x +
3 dengan domain {x/-1 ≤ x ≤ 3, x є bilangan bulat}. Jika variabel x diubah
menjadi x + 3, maka nilai perubahan fungsi dari f(x) dan f(x+3) yaitu selisih
dari keduanya.
Diketahui f(x) = 5x + 3,
maka
f(x+3) = 5 (x+3) +3
=
5x + 15 +3
=
5x + 18
Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x+3) adalah
f(x+3)-f(x) =
(5x + 18) – (5x + 3)
=
15.
6. Grafik Fungsi (Pemetaan)
Grafik suatu pemetaan (fungsi) adalah bentuk diagram Cartesius dari
suatu pemetaan (fungsi). Perhatikan contoh berikut:
Gambarlah grafik fungsi f : x à x+3
dengan domain
a: { x | 0 ≤ x ≤ 8, x € bilangan bulat },
b: { x | 0 ≤ x ≤ 8, x € real }.
Penyelesaian:
Untuk memudahkan menggambar grafik fungsi f : x Ià x+3, kita buat terlebih dahulu tabel yang
memenuhi fungsi tersebut,
sehingga diperoleh koordinat titik-titik yang memenuhi.
Gambar grafik dari tabel di atas:
Berdasarkan grafik fungsi f : x à x + 3
dengan domain {x | 0 ≤ x ≤ 8, x € bilangan real} berupa
titik-titik noktah saja,akan tetapi bagaimana jika titik-tik tersebut dihubungkan?
Berdasarkan grafik fungsi f : x à x + 3 dengan domain {x | 0 ≤ x ≤ 8, x € bilangan real} jika titik-titiknya dihubungkan ternyata akan membuat garis
ü Mengapa demikian?
Fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh
rumus f(x) = ax + b dengan a, b € R
dan a ≠ 0 disebut fungsi linear. Grafik fungsi linear berupa
suatu garis lurus dengan persamaan y = ax + b.
Dari kedua grafik fungsi di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa
jika domain dan kodomainya hanya terbatas pada himpunan bilangan bulat rangenya
dapat digambarkan dengan noktah-noktah saja namun jika domain dan kodomainnya
diperluas pada himpunan bilangan riil, rangenya dapat ditunjukkan dengan garis
yang melalui noktah-noktah tersebut.
Perhatikan deretan rumah di suatu kompleks rumah (perumahan). Setiap
rumah memiliki nomor rumah tertentu yang berbeda dengan nomor rumah yang lain.
Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? Atau mungkinkah dua rumah
memiliki nomor rumah yang sama? Tentu saja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah
memiliki satu nomor rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumah
dikatakan sebagai
korespondensi satu-satu.
Contoh lain:
Jika ibukota propinsi yang terdapat di pulau Kalimantan
dikelompokkan dalam himpunan A dan propinsi yang terdapat di pulau Kalimantan
dikelompokkan dalam himpunan B, maka relasi ibukota propinsi dari
himpunan A ke himpunan B dinyatakan dalam diagram panah sebagai berikut.
A = { Banjarmasin, Samarinda, Palangkaraya, Pontianak }
B = { Kalimantan selatan, Kalimantan Timur, Kalimantan Tengah,
Kalimantan Barat }
Sebaliknya apabila kita membuat relasi ibukotanya adalah dari
himpunan B ke himpunan A, maka diagram panahnya adalah sebagai berikut.
Kedua relasi di atas adalah fungsi karena fungsi dengan relasi “ibukota propinsi” memetakan
himpunan A kepada himpunan B, sebaliknya fungsi dengan relasi
“ibukotanya adalah” memetakan himpunan B kepada himpunan A. Pemetaan
yang bersifat bolak-balik atau dua arah ini disebut korespondensi
satu-satu.
Dari uraian di atas maka dapat kita simpulkan bahwa Korespondensi
satu-satu adalah fungsi yang memetakan anggota dari himpunan A dan B, dimana
semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A
berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan
tepat satu anggota A. Jadi, banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n(A)
= n(B). banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A
dan B adalah n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 3 x
2 x 1. n! dibaca : n faktorial.
sumber: file pribadi
