Peluang

Percobaan Statistika, Titik Sampel, Ruang Sampel, dan Kejadian

Pada percobaan pelemparan sebuah mata uang logam di atas hasil yang mungkin adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Misalkan himpunan semua hasil yang mungkin S, maka S = { A, G},  S disebut ruang sampel, sedangkan anggota-anggotanya yaitu A dan G disebut titik-titik sampel. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian. Kejadian pada percobaan di atas misalnya munculnya sisi “Angka” = {A} dan munculnya sisi “Gambar” = {G}.      

Secara umum:

·         Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan statistika disebut ruang sampel.

·         Anggota ruang sampel disebut titik sampel.

·         Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian

Menyusun Ruang Sampel

   Secara Umum

                Jika suatu peristiwa dapat dilakukan dalam p cara, kemudian dilanjutkan dalam q cara, dan dilanjutkan lagi dalam r cara, maka peristiwa itu dapat dilakukan dalam : (p ´ q ´ r)  cara.

Peluang dengan Frekuensi Nisbi

Secara Umum

Sebuah mata uang logam dilambungkan n kali. Muncul sisi B sebanyak p kali, dan muncul sisi A sebanyak q kali. Frekuensi nisbi(relatif) muncul sisi B adalah p/n, dan frekuensi relatif muncul sisi A adalah q/n .

Kalau n cukup besar, maka peluang muncul sisi B = P(B) = p/n , dan peluang muncul sisi A = P(A) = q/n

Contoh

1.    Bu Rini menjelaskan kepada Surya bahwa kesempatan Surya   mendapatkan sisi bergambar “Burung” jika melambungkan sebuah mata  uang logam adalah 1/2 . Apakah ini berarti bahwa setiap melambungkan   mata uang logam 2 kali akan muncul sisi “Angka” sekali dan muncul sisi “Burung” sekali? berikan alasan!

      

          Dalam melambungkan mata uang logam tersebut, meskipun Surya senang minum teh, Surya tidak dapat menentukan supaya selalu muncul sisi bergambar “Burung”. Dia hanya a sisi bergambar “Burung” atau “Angka” disebut kejadian. Kejadian mtahu bahwa akan muncul sisi bergambar “Burung” atau  “Angka”. Munculnyunculnya sisi bergambar “Burung” atau “Angka” tersebut dinamakan kejadian acak, karena kejadiannya tidak dapat ditentukan sebelumnya.

          Pada bulan April, misal Surya dapat minum teh pada pagi hari sebanyak 13  kali. Bulan April terdiri atas 30 hari. Rasio banyaknya hari Surya minum teh pada pagi hari dibandingkan dengan banyaknya hari dalam bulan April adalah13/30 .  Rasio  13/30 disebut frekuensi nisbi atau frekuensi relatif banyaknya Surya minum teh pada pagi hari.

          Kalau kebiasaan minum teh atau susu ini dilakukan dalam waktu yang cukup lama, misal 2 tahun, dan rasio minum teh di pagi hari adalah 13/30  , maka  disebut peluang Surya minum teh di pagi hari 13/30. Ditulis :      P(Surya minum teh di pagi hari) = 13/30.

Nilai Peluang secara Teoritis

Secara umum

Jika S adalah suatu ruang sampel dan A adalah suatu kejadian dalam ruang sampel tersebut, maka peluang A terjadi adalah :

Untuk lebih memahami materi silahkan download soalnya di sini

sumber file pribadi

Read More

SPLDV

Sejarah Persamaan Linear

Sistem persamaan linier sudah digunakan sejak 4000 tahun yang lalu (sekitar tahun 2000SM) pada masa Babylonian (Babel). Hal ini bisa kita lihat dalam tablet YBC 4652 yang menjelaskan bagaimana Babel menyelesaikan suatu masalah dengan persamaan linier. Dalam tablet YBC 4652 dituliskan:

Meskipun babel sudah menggunakan Sistem Persamaan Linier dalam kehidupan sehari-hari mereka, namun istilah “Sistem Persamaan Linier (Linear Equation)” sendiri baru muncul sekitar abad ke-17 oleh seorang matematikawan Perancis bernama Rene Decartes.

Rene Descartes

Rene Descartes dilahirkan pada tahun 1596, tanggal 31 Maret di sebuah desa di Prancis. Dia menempuh pendidikan di Belanda dan belajar matematika di waktu luang, karya Descartes yang paling menghargai adalah pengembangannya geometri Cartesian yang menggunakan aljabar untuk menggambarkan geometri. Kemungkinan, Descartes menemukan istilah untuk “Sistem Persamaan Linier (Linear Equation)” ketika dia belajar di Belanda.

Gauss paper pada tahun 1811 berkaitan dengan penentuan orbit asteroid),  memperkenalkan prosedur yang sistematis, dan sekarang disebut eliminasi Gaus untuk solusi  sistem persamaan linier.

Isaac  Newton

Metode di Eropa berasal dari catatan Isaac Newton. Pada 1670, ia menulis bahwa semua buku aljabar yang diketahui olehnya kekurangan pelajaran untuk memecahkan persamaan simultan, yang Newton kemudian disediakan. Carl Friedrich Gauss pada tahun 1810 menyusun notasi untuk eliminasi simetrik yang diadopsi pada abad ke-19 oleh komputer tangan profesional untuk memecahkan persamaan normal masalah kuadrat-terkecil. Algoritma yang diajarkan di sekolah tinggi bernama untuk Gauss hanya pada 1950-an sebagai akibat dari kebingungan sejarah subjek.

Metode eliminasi Gauss kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, namun pada perkembangannya metode ini disempurnakan menjadi eliminasi Gauss-Jordan.

Motode tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.

Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988.

1.       Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Persamaan Linear dengan Dua Variabel adalah suatu persamaan yang tepat mempunyai dua variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Persamaan x + 4y = 8, memiliki dua variabel yaitu x dan y, serta masing-masing variabel berpangkat satu. x + 4y = 8 merupakan PLDV.

Bentuk umum dari PLDV adalah

1.       Persamaan linear satu variabel (x)

                ax + b = 0 dengan a, b Є R dan a ≠ 0

2.       Persamaan linear dua variabel ( x dan y)

                ax + by + c = 0 dengan a, b, c Є R dan a ≠ 0, b ≠ 0

3.       Persamaan linear tiga variabel ( x, y dan z)

                ax + by + cz + d = 0 dengan a, b, c, d Є R dan a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

2.       Bentuk-Bentuk SPLDV

Perbedaan PLDV dan SPLDV

a.       Persamaan linear dengan satu variabel (PLSV). Persamaan linear dengan satu variabel adalah persamaan yang memiliki satu variabel dan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu.

Contoh :

5 = x – 3

3a + 2 = 10

3m = 2m – 1

Dimana x , a  dan m  merupakan variabel.

b.      Persamaan Linear Dua Variabel. Persamaan Linear Dua Variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dan masing-masing variabel sama dengan satu .

Bentuk umum:

ax + by = c , 

a, b tidak sama dengan 0

x dan y sebagai variabel 

Contoh:

  1. x + y = 3

  2. x – 3y = 6

  3. 5y – 3x = 8

 Dimana  x dan y merupakan variabel.     

sumber file pribadi

Read More

Logaritma

Sejarah logaritma

John Napier lahir pada tahun 1550 di dekat Edinburgh, Skotlandia. Dia menciptakan logaritma dan juga mendesain sebuah metode sederhana untuk perkalian dan pembagian yang dikenal sebagai tulang-tulang Napier. Ketika buku Napier tentang logaritma (angka yang diatur dal;am tabel sehingga operasi penambahan dan pengurangan lebih banyak dipakai daripada perkalian perklaian dan pembagian) diterbitkan pada tahun 1614,  hal ini amat mengagumkan para ilmuan sebagaimana ditemukannya kalkulator di zaman modern. Dengan  bantuan logaritma mereka dapat mengerjakan perkalian dan pembagian yang sulit dengan cepat dan mudah untuk pertama kalinya. Napier menghabiskan hidupnya mengutak-atik matematika. Ia meninggalkan pada tahun 1617 pada usia 67 tahun dan dimakamkan di Edinburgh.

Fungsi logaritma dalam kehidupan

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

·  Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

·  Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasaAlexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

·  Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

·  Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

materi bilangan berpangkat, misalnya 2³= 8 dengan 2 adalah bilangan pokok, 3 adalah pangkat, dan 8 adalah hasil dari perpangkatan. Hasil dari perpangkatan dapat ditentukan, jika bilangan pokok dan pangkatnya diketahui. Sekarang bagaimana jika siswa dihadapkan pada persoalan mencari pangkat jika diketahui bilangan pokok dan hasil perpangkatan, misalnya 2^x=8, maka berapakah nilai x?

            Untuk menjawab persoalan tersebut ada salah satu cara dalam matematika yang dapat digunakan yaitu logaritma yang disingkat dengan log. 

a.        Pengertian Logaritma

Perhatikan diagram panah di bawah ini :

Dari gambar diatas dapat disimpulkan sebegai berikut:

Untuk  n = 0 maka b = 2 ⁰ = 1

                   n = 1 maka b = 2¹ = 2

                   n = 2 maka b = 2² = 4

                   n = 2 maka b = 2³ = 8

    

Dalam matematika ,      1 = 2ⁿ ]n=0 ditulis sebagai ²log 1=0.

Begitu juga,                  2 = 2ⁿ ]n = 1 ditulis sebagai ²log 2 = 1

                                    4 = 2ⁿ ]n = 2 ditulis sebagai ²log 4 = 2

                                    8 = 2ⁿ ]n = 3 ditulis sebagai ²log 8 = 3

Log adalah notasi dari logaritma. Bentuk ^alog b dibaca sebagai logaritma b dengan bilangan pokok a.

Secara umum:

^alog b = n ób = aⁿ

dengan: a disebut bilangan pokok, a > 0 dan a ≠ 1

              b disebut numerus, b > 0

              n disebut hasil logaritma.

a.    Mengubah Bentuk ^alog b = n Menjadi aⁿ = b

Contoh:     ³log 27 = 3 menjadi 3³ = 27

                 ²log 2 = 1 menjadi 2¹ = 2

                                  ^plog 1 = 0 menjadi p⁰ = 1

b.    Mengubah Bentuk aⁿ = b Menjadi ^alog b

Contoh:     125 = 5³ menjadi  ⁵log 125 = 3

                 10⁴ = 10000 menjadi  ¹⁰log 10000 = 4

                 a⁵  = b menjadi  ^alog b = 5

c.    Menghitung Nilai Logaritma

Contoh: ²log 64 = 6 sebab 2⁶ = 64

                 ⁵log 0,2 = -1  sebab 5^-1 = 0,2

                 ⁸¹log 3 = 1/4 sebab 81^1/4 = 3
Untuk anda yang ingin lebih memahami logaritma silahkan download peta konsep

sumber file pribadi

Read More